Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

На основании многочисленных опытов Кулон установил следующий закон:

Силы взаимодействия неподвижных зарядов прямо пропорциональны произведению модулей зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

Силы взаимодействия подчиняются третьему закону Ньютона: Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонаОни являются силами отталкивания при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения при разных знаках Взаимодействие неподвижных электрических зарядов называют электростатическим или кулоновским взаимодействием. Раздел электродинамики, изучающий кулоновское взаимодействие, называют электростатикой.

Закон Кулона справедлив для точечных заряженных тел. Практически закон Кулона хорошо выполняется, если размеры заряженных тел много меньше расстояния между ними.

Коэффициент пропорциональности k в законе Кулона зависит от выбора системы единиц. В Международной системе СИ за единицу заряда принят кулон (Кл).

Кулон – это заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А. Единица силы тока (ампер) в СИ является наряду с единицами длины, времени и массы основной единицей измерения.

Коэффициент k в системе СИ обычно записывают в виде:

Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

где Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонаэлектрическая постоянная.

В системе СИ элементарный заряд e равен:

e = 1,602177·10 –19 Кл ≈ 1,6·10 –19 Кл.

Опыт показывает, что силы кулоновского взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции.

Если заряженное тело взаимодействует одновременно с несколькими заряженными телами, то результирующая сила, действующая на данное тело, равна векторной сумме сил, действующих на это тело со стороны всех других заряженных тел.

2. По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле. Это поле оказывает силовое действие на другие заряженные тела. Главное свойство электрического поля – действие на электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженные тела.

Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так называемого пробного заряда – небольшого по величине точечного заряда, который не производит заметного перераспределения исследуемых зарядов.

Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонанапряженность электрического поля.

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда:

Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонав каждой точке пространства совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется электростатическим. Во многих случаях для краткости это поле обозначают общим термином – электрическое поле

Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции.

В соответствии с законом Кулона напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю

Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

Это поле называется кулоновским. В кулоновском поле направление вектора Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулоназависит от знака заряда Q: если Q > 0, то вектор Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонанаправлен по радиусу от заряда, если Q

Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона
Рисунок 1.2.1. Силовые линии электрического поля

Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов изображены на рис. 1.2.2. Так как электростатическое поле, создаваемое любой системой зарядов, может быть представлено в виде суперпозиции кулоновских полей точечных зарядов, изображенные на рис. 1.2.2 поля можно рассматривать как элементарные структурные единицы («кирпичики») любого электростатического поля.

Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона
Рисунок 1.2.2. Силовые линии кулоновских полей

Кулоновское поле точечного заряда Q удобно записать в векторной форме. Для этого нужно провести радиус-вектор Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонаот заряда Q к точке наблюдения. Тогда при Q > 0вектор Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонапараллелен Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонаа при Q

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9140 — Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона | 7301 — Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона или читать все.

О законе сухого трения см. Закон Амонтона — Кулона

Читайте также:  Резиновая подушка под домкрат
Классическая электродинамика
Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика

Зако́н Куло́на — физический закон, описывающий силу взаимодействия между неподвижными точечными электрическими зарядами в зависимости от расстояния между ними.

Содержание

Формулировки [ править | править код ]

Был открыт Шарлем Кулоном в 1785 г. Проведя большое количество опытов с металлическими шариками, Шарль Кулон дал такую формулировку закона:

Модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Она является силой притяжения, если знаки зарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы.

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

  1. Точечность зарядов, то есть расстояние между заряженными телами должно быть много больше их размеров. Впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;
  2. Их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;
  3. Расположение зарядов в вакууме.

Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов [2] .

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

F → 12 = k ⋅ q 1 ⋅ q 2 r 12 2 ⋅ r → 12 r 12 , <displaystyle <vec >_<12>=kcdot <frac <1>cdot q_<2>><12>^<2>>>cdot <frac <<vec >_<12>><12>>>,> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

где F → 12 <displaystyle <vec >_<12>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; q 1 , q 2 <displaystyle q_<1>,q_<2>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— величина зарядов; r → 12 <displaystyle <vec >_<12>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — r 12 <displaystyle r_<12>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона); k <displaystyle k> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— коэффициент пропорциональности.

Закон Кулона совершенно аналогичен по форме закону всемирного тяготения. При этом роль тяжёлых масс играют электрические заряды [3] .

Коэффициент k <displaystyle k> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона[ править | править код ]

В СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент k <displaystyle k> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонаравен единице.

В Международной системе единиц (СИ) одной из основных единиц является единица силы электрического тока — ампер, а единица заряда — кулон — производная от него. Величина ампера определена таким образом, что k = c 2 ·10 −7 Гн/м = 8,9875517873681764⋅10 9 Н·м 2 /Кл 2 (или Ф −1 ·м). В СИ коэффициент k записывается в виде:

k = 1 4 π ε 0 , <displaystyle k=<frac <1><4pi varepsilon _<0>>>,> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

где ε 0 <displaystyle varepsilon _<0>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона≈ 8,85418781762⋅10 −12 Ф/м — электрическая постоянная.

В среде, заполненной бесконечным однородным изотропным диэлектрическим веществом (на практике — для зарядов, погруженных в непроводящую жидкость при не очень больших напряжённостях поля) в знаменатель формулы добавляется диэлектрическая проницаемость среды ε.

k = 1 ε . <displaystyle k=<frac <1><varepsilon >>.> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

k = 1 4 π ε ε 0 . <displaystyle k=<frac <1><4pi varepsilon varepsilon _<0>>>.> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

Закон Кулона в квантовой механике [ править | править код ]

В квантовой механике закон Кулона формулируется не при помощи понятия силы, как в классической механике, а при помощи понятия потенциальной энергии кулоновского взаимодействия. В случае, когда рассматриваемая в квантовой механике система содержит электрически заряженные частицы, к оператору Гамильтона системы добавляются слагаемые, выражающие потенциальную энергию кулоновского взаимодействия, так, как она вычисляется в классической механике [4] . Это утверждение не следует из остальных аксиом квантовой механики, а получено путём обобщения опытных данных.

Так, оператор Гамильтона атома с зарядом ядра Z имеет вид:

j><frac <2>>>>.>"> H = − ℏ 2 2 m ∑ j ∇ j 2 − Z e 2 ∑ j 1 r j + ∑ i > j e 2 r i j . <displaystyle H=-<frac <hbar ^<2>><2m>>sum _
abla _
^<2>-Ze^<2>sum _<frac <1>>>+sum _j><frac
<2>>>>.> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонаj><frac <2>>>>.>"/>

Здесь m — масса электрона, е — его заряд, r j <displaystyle r_> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— абсолютная величина радиус-вектора j -го электрона r → j <displaystyle <vec >_> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона, а r i j = | r → i − r → j | <displaystyle r_=|<vec >_-<vec >_|> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона. Первое слагаемое выражает кинетическую энергию электронов, второе слагаемое — потенциальную энергию кулоновского взаимодействия электронов с ядром и третье слагаемое — потенциальную кулоновскую энергию взаимного отталкивания электронов. Суммирование в первом и втором слагаемом ведется по всем Z электронам. В третьем слагаемом суммирование идёт по всем парам электронов, причём каждая пара встречается однократно [5] .

Закон Кулона с точки зрения квантовой электродинамики [ править | править код ]

Согласно квантовой электродинамике, электромагнитное взаимодействие заряженных частиц осуществляется путём обмена виртуальными фотонами между частицами. Принцип неопределённости для времени и энергии допускает существование виртуальных фотонов на время между моментами их испускания и поглощения. Чем меньше расстояние между заряженными частицами, тем меньшее время нужно виртуальным фотонам для преодоления этого расстояния и следовательно, тем большая энергия виртуальных фотонов допускается принципом неопределенности. При малых расстояниях между зарядами принцип неопределённости допускает обмен как длинноволновыми, так и коротковолновыми фотонами, а при больших расстояниях в обмене участвуют только длинноволновые фотоны. Таким образом, с помощью квантовой электродинамики можно вывести закон Кулона [6] [7] .

Читайте также:  Лучшие паяльники для полипропиленовых труб рейтинг лучших

История [ править | править код ]

Впервые исследовать экспериментально закон взаимодействия электрически заряженных тел предложил [8] Г. В. Рихман в 1752—1753 гг. Он намеревался использовать для этого сконструированный им электрометр-«указатель». Осуществлению этого плана помешала трагическая гибель Рихмана.

В 1759 г. профессор физики Санкт-Петербургской академии наук Ф. Эпинус, занявший кафедру Рихмана после его гибели, впервые предположил [9] , что заряды должны взаимодействовать обратно пропорционально квадрату расстояния. В 1760 г. появилось краткое сообщение [10] о том, что Д. Бернулли в Базеле установил квадратичный закон с помощью сконструированного им электрометра. В 1767 г. Пристли в своей «Истории электричества» [11] отметил, что опыт Франклина, обнаружившего отсутствие электрического поля внутри заряженного металлического шара, может означать, что «сила электрического притяжения подчиняется тем же законам, что и сила тяжести, а следовательно, зависит от квадрата расстояния между зарядами» [12] . Шотландский физик Джон Робисон утверждал (1822), что в 1769 г. обнаружил, что шары с одинаковым электрическим зарядом отталкиваются с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, и таким образом предвосхитил открытие закона Кулона (1785) [13] .

Примерно за 11 лет до Кулона, в 1771 г., закон взаимодействия зарядов был экспериментально открыт Г. Кавендишем, однако результат не был опубликован и долгое время (свыше 100 лет) оставался неизвестным. Рукописи Кавендиша были вручены Д. К. Максвеллу лишь в 1874 г одним из потомков Кавендиша на торжественном открытии Кавендишской лаборатории и опубликованы в 1879 г. [14] .

Сам Кулон занимался исследованием кручения нитей и изобрел крутильные весы. Он открыл свой закон, измеряя с помощью них силы взаимодействия заряженных шариков.

Закон Кулона, принцип суперпозиции и уравнения Максвелла [ править | править код ]

Закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей полностью равносильны уравнениям Максвелла для электростатики d i v D = 4 π ρ <displaystyle mathrm

D=4pi
ho > Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонаи r o t E = 0. <displaystyle mathrm E=0.> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонаТо есть закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей выполняются тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла для электростатики и, наоборот, уравнения Максвелла для электростатики выполняются тогда и только тогда, когда выполняются закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей [15] .

Степень точности закона Кулона [ править | править код ]

Закон Кулона — экспериментально установленный факт. Его справедливость неоднократно подтверждалась всё более точными экспериментами. Одним из направлений таких экспериментов является проверка того, отличается ли показатель степени r в законе от 2. Для поиска этого отличия используется тот факт, что если степень точно равна двум, то поле внутри полости в проводнике отсутствует, какова бы ни была форма полости или проводника [16] .

Такие опыты впервые провел Кавендиш и повторил Максвелл в усовершенствованном виде, получив для максимального отличия показателя в степени от двух величину 1 21600 <displaystyle <frac <1><21600>>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона[17] .

Эксперименты, проведённые в 1971 г. в США Э. Р. Уильямсом, Д. Е. Фоллером и Г. А. Хиллом, показали, что показатель степени в законе Кулона равен 2 с точностью до ( 3 , 1 ± 2 , 7 ) × 10 − 16 <displaystyle (3,1pm 2,7) imes 10^<-16>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона[18] .

Для проверки точности закона Кулона на внутриатомных расстояниях У. Ю. Лэмбом и Р. Резерфордом в 1947 г. были использованы измерения относительного расположения уровней энергии водорода. Было установлено, что и на расстояниях порядка атомных 10 −8 см, показатель степени в законе Кулона отличается от 2 не более чем на 10 −9 [19] [20] .

Коэффициент k <displaystyle k> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонав законе Кулона остается постоянным с точностью до 15⋅10 −6 [20] .

Поправки к закону Кулона в квантовой электродинамике [ править | править код ]

λ e = ℏ m e c ≈ 3 , 86 ⋅ 10 − 13 <displaystyle lambda _=<frac <hbar >c>>approx 3<,>86cdot 10^<-13>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонам [21] ,

где m e <displaystyle m_> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— масса электрона, ℏ <displaystyle hbar > Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— постоянная Планка, c <displaystyle c> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— скорость света) становятся существенными нелинейные эффекты квантовой электродинамики: на обмен виртуальными фотонами накладывается генерация виртуальных электрон-позитронных (а также мюон-антимюонных и таон-антитаонных) пар, а также уменьшается влияние экранирования (см. перенормировка). Оба эффекта ведут к появлению экспоненциально убывающих членов порядка e − 2 r / λ e <displaystyle e^<-2r/lambda _>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонав выражении для потенциальной энергии взаимодействия зарядов и, как результат, к увеличению силы взаимодействия по сравнению с вычисляемой по закону Кулона.

Например, выражение для потенциала точечного заряда Q <displaystyle Q> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонав системе СГС, с учётом радиационных поправок первого порядка, принимает вид [22] :

Читайте также:  После стяжки пола когда можно класть ламинат

Φ ( r ) = Q r ⋅ ( 1 + α 4 π e − 2 r / λ e ( r / λ e ) 3 / 2 ) , <displaystyle Phi (r)=<frac >cdot left(1+<frac <alpha ><4<sqrt <pi >>>><frac >><(r/lambda _)^<3/2>>>
ight),> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

где λ e <displaystyle lambda _> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— комптоновская длина волны электрона, α = e 2 ℏ c <displaystyle alpha =<frac <2>><hbar c>>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— постоянная тонкой структуры и r ≫ λ e <displaystyle rgg lambda _> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона.

На расстояниях порядка λ W = ℏ m w c ∼ <displaystyle lambda _=<frac <hbar >c>>sim > Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона10 −18 м, где m w <displaystyle m_> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— масса W-бозона, в игру вступают уже электрослабые эффекты.

В сильных внешних электромагнитных полях, составляющих заметную долю от поля пробоя вакуума (порядка m e c 2 e λ e ∼ <displaystyle <frac c^<2>>>>sim > Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона10 18 В/м или m e c e λ e ∼ <displaystyle <frac c>>>sim > Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона10 9 Тл, такие поля наблюдаются, например, вблизи некоторых типов нейтронных звёзд, а именно магнитаров) закон Кулона также нарушается в силу дельбрюковского рассеяния обменных фотонов на фотонах внешнего поля и других, более сложных нелинейных эффектов. Это явление уменьшает кулоновскую силу не только в микро-, но и в макромасштабах, в частности, в сильном магнитном поле кулоновский потенциал падает не обратно пропорционально расстоянию, а экспоненциально [23] .

Закон Кулона и поляризация вакуума [ править | править код ]

Явление поляризации вакуума в квантовой электродинамике заключается в образовании виртуальных электронно-позитронных пар. Облако электронно-позитронных пар экранирует электрический заряд электрона. Экранировка растет с ростом расстояния от электрона, в результате эффективный электрический заряд электрона e e <displaystyle e_> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонаявляется убывающей функцией расстояния e e = e e ( r ) <displaystyle e_=e_(r)> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона[24] . Эффективный потенциал, создаваемый электроном с электрическим зарядом e <displaystyle e> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона, можно описать зависимостью вида e e ( r ) / r <displaystyle e_(r)/r> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона. Эффективный заряд e e ( r ) <displaystyle e_(r)> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулоназависит от расстояния r <displaystyle r> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонапо логарифмическому закону:

e e ( r ) e = 1 + 2 α 3 π ln ⁡ r e r + … , <displaystyle <frac (r)>>=1+<frac <2alpha ><3pi >>ln <frac >>+dots ,> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона

α = e 2 4 π ε 0 ℏ c ≈ 7.3 ⋅ 10 − 3 <displaystyle alpha =<frac <2>><4pi varepsilon _<0>hbar c>>approx 7.3cdot 10^<-3>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона— постоянная тонкой структуры; r e = e 2 4 π ε 0 c 2 m e ≈ 2.8 ⋅ 10 − 13 <displaystyle r_=<frac <2>><4pi varepsilon _<0>c^<2>m_>>approx 2.8cdot 10^<-13>> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулонасм — классический радиус электрона [25] [26] .

Эффект Юлинга [ править | править код ]

Явление отклонения электростатического потенциала точечных зарядов в вакууме от значения закона Кулона известно как эффект Юлинга, который впервые вычислил отклонения от закона Кулона для атома водорода. Эффект Юлинга даёт поправку к лэмбовскому сдвигу 27 МГц [27] [28] .

Закон Кулона и сверхтяжёлые ядра [ править | править код ]

В сильном электромагнитном поле вблизи сверхтяжёлых ядер с зарядом 170>"> Z > 170 <displaystyle Z>170> Физический смысл коэффициента пропорциональности в законе кулона170"/> осуществляется перестройка вакуума, аналогичная обычному фазовому переходу. Это приводит к поправкам к закону Кулона [29] .

Значение закона Кулона в истории науки [ править | править код ]

Закон Кулона является первым открытым количественным и сформулированным на математическом языке фундаментальным законом для электромагнитных явлений. С открытия закона Кулона началась современная наука об электромагнетизме [30] .

Наши партнеры

Французский ученый Шарль Кулон исследовал, как зависит сила взаимодействия между заряженными телами от значений зарядов тел и от расстояния между ними. В своих опытах Кулон не учитывал размеры тел, взаимодействующих.

Заряд, помещенный на теле, размеры которого малы по сравнению с расстояниями до других тел, с которыми оно взаимодействует, называют точечным зарядом.

Закон Кулона, открытый 1785 p., Количественно описывает взаимодействие заряженных тел. Он является фундаментальным законом, то есть установлен с помощью эксперимента и не вытекает ни из какого другого закона природы.

? Неподвижные точечные заряды q1 и q2 взаимодействуют в вакууме с силой F, прямо пропорциональной модулям зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между зарядами:

Значение коэффициента пропорциональности k зависит от выбора системы единиц.

Единица электрического заряда в СИ названа в честь Кулона — это 1 кулон (Кл).

Коэффициент пропорциональности k в законе Кулона численно равна k = 9.109 Н • м2/Кл2. Физический смысл этого коэффициента заключается в следующем: два точечных заряда по 1 Кл каждый, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой, равной 9.109 Н.

Похожие материалы:

Вы устали искать подходящие конспекты, лекции и семинары? Тогда Вы попали на самый полезный сайт в этой отрасли! У нас собраны лучшие методические учебные материалы по всем направлениям обучения: география, биология, физика, химия, история, философия, психология, экономика, политология и др. Желаем Вам самых высоких оценок иуспешного сдания зачетов и экзаменов. Успехов!